2012 est une année bissextile et compte 29 jours en février : les 5 mercredi sont le 1, 8, 15, 22 et 29. Il faut trouver l’année bissextile dont le 1er février est un mercredi, soit après un nombre de jours multiple de 7. Le reste de 365 par 7 est 1 et le reste de 366 est 2, donc au bout de 4 ans le reste est 2+1+1+1=5. Pour que le reste soit un multiple de 7, il faut donc attendre 7 fois 4 ans = 28 ans. L’année suivante sera donc 2040.

2ème problème : AUTOREFERENCE : complétez la phrase dans le cadre à l’aide de nombres écrits en chiffres de façon qu’elle soit vraie.

Avant de compléter la phrase, on compte 13 nombres. Comme on va en ajouter 2, il y en aura 15 (1er nombre à trouver) et 4 ou 5 (2 solutions pour le 2e nombre) sont des multiples de 5. Attention à ne pas passer à côté de cette 2e solution : dire qu'il y a 5 solutions crée en effet par auto-référence une 5e solution.

On a 2 solutions (15,4) et (15,5)

3e problème : CARREMENT GIVRE ! Mathias s’amuse à calculer la racine carrée du nombre gigantesque 11 111 111 115 555 555 555. Quel résultat va-t-il trouver ? On donnera la réponse arrondie à l’entier le plus proche

Ce nombre s’écrit aussi :

.

Donc la valeur approchée par excès (arrondie au plus proche) est

Sans utiliser les sommes de suites géométriques, il n’est pas inutile de savoir extraire une racine carrée à la main.

4e problème : DEVINE SURFACE : les ronds noirs de la figure sont situés au milieu de deux côtés consécutifs d’un carré. Les côtés du triangle gris mesurent des nombres entiers de centimètres. Quelle est, au minimum, la surface du carré, en centimètres carrés ?

Le triangle gris est rectangle car son petit et son grand côtés sont obtenus par rotation de 90° du carré. Avec (3,4,5) qui est le plus petit triangle de ce type, le côté du carré vaut  donc l’aire du carré est au minimum 20 cm2

5e problème : LA SUITE DE L’ANNEE : on tire aléatoirement une suite infinie de chiffres 0, 1 ou 2. Puis on la lit dans l’ordre du tirage. Quelle est la probabilité qu’on lise (les virgules ne sont pas prononcées) « 2, 0, 1, 2 » sans avoir lu « 0, 1, 2 » avant ? Vous répondrez sous la forme d’une fraction irréductible.

(Solution proposée par Daniel Collignon)

Soit p la probabilité recherchée.

(-, 0, 01, 2, 20, 201) sont les derniers termes de la suite qui peuvent conduire à 012 ou 2012. Chacun correspond à un état s dont la probabilité qu’il aboutisse à 2012 avant 012 est ps. A partir d’un état s, on regarde les états suivants possibles ce qui permet d’écrire les relations entre les probabilités :

(1) p=(p0+p+p2)/3

(2) p0=(p0+p01+p2)/3

(3) p01=(p0+p)/3 (état 012 impossible) 

(4) p2=(p20+p+p2)/3

(5) p20=(p0+201+p2)/3

(6) p201=(p0+p+1)/3

On résoud ce système d’équations :

(1)=> 2p=p0+p2            

(2)=> 2p0=p01+p2       

(4)=> 2p2=p+p20

(3) et (1) dans (2)=> 2p0=(p0+p)/3 + (2p-p0) donc p0=7p/8. D’où p2=9p/8, p01=5p/8 et p20=10p/8.

(5)=> p201=14p/8

Enfin (6)=> 14p/8=(15p/8+1)/3=5p/8+1/3 soit 9p/8=1/3 et p=8/27