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Petits rappels.

• Si deux cercles sont tangents entre eux, alors les deux centres et le point de tangence sont alignés.

• Si un cercle est tangent à une droite, alors le rayon passant par le point de tangence est perpendiculaire à la droite.

              

Rien que ces deux faits nous permettent de partir à la chasse aux triangles rectangles. Regardons la figure suivante. Les deux grands cercles ont un rayon de 1 cm. Quelle est le rayon du petit cercle en cm ?

Appelons R le rayon des grands cercles et r celui du petit. Complétons le dessin de la manière suivante.

 

On a OO'=R+r, OT=R et TO'=R-r. Donc, par le théorème de Pythagore, (R-r)²+R²=(R+r)². Comme (R+r)²-(R-r)²=4rR, on obtient 4rR=R² donc r=R/4. Finalement r=0,25 cm

Quelques remarques.

• En utilisant le théorème de Pythagore, on aurait pu s’attendre à devoir résoudre une équation du second degré. En fait, ce n’est souvent pas le cas, et l’identité remarquable (a+b)²-(a-b)²=4ab apparaît régulièrement.

• Les côtés du triangle OTO' mesurent, en cm, 3/4, 1 et 5/4, ce qui est proportionnel au triplet 3-4-5. C’est la proportion qui apparaît le plus souvent dans les exercices avec des triangles rectangles, suivie par 5-12-13 qu’il est bon de connaître également.

Voici quelques exercices pour s’entraîner, associés avec quelques indices. C’est rapidement un peu calculatoire, mais résistez à la tentation d’utiliser la calculatrice. Ce qui ressemble à des centres de cercle, des points de tangence, des cercles de même taille, des demi-cercles, des carrés, des hexagones réguliers, etc., en sont. Le but à chaque fois est de calculer le diamètre des différents cercles. On pourra prendre, si besoin,  .

Pour le dernier exercice, l’indice ne s’invente pas ; n’hésitez pas à le regarder.

 

 

Sources des exercices dans l’ordre : finale internationale 1990 jour 2 catégorie LY problème 2, finale internationale 1991 jour 1 problème 9, finale internationale 1994 jour 2 problème 16, quart de finale 2003 problème 17, finale suisse 2004 problème 16, finale internationale 2011 jour 1 problème 18.

 

Indices :

1. Introduisez le centre du cercle, ce sera l’un des sommets du triangle rectangle. / Les deux autres sommets sont la projection orthogonale du centre du cercle sur le côté droit du carré, et le sommet supérieur droit du carré. / Exprimez les différents côtés en fonction d’une inconnue : le rayon du cercle.

2. Regardez les centres du grand cercle, du cercle du haut et du cercle de gauche. / Regardez les centres du grand cercle, du cercle de gauche et de l’un des petits cercles.

3. Attention à ne pas vous laisser induire en erreur en traçant la figure : la droite reliant le centre du petit cercle de droite et le centre du demi-cercle de diamètre 19 n’est pas verticale ! / Introduisez le centre du petit cercle de droite et sa projection sur la droite horizontale. / Obtenez deux triangles rectangles partageant un côté en commun, cela vous donnera une équation à résoudre. / Procédez de même pour l’autre cercle.

4. Pour le cercle apparaissant huit fois, faites apparaître deux triangles rectangles partageant un côté en commun.

5. En reliant les centres de deux cercles adjacents et le centre de l’hexagone, on obtient un triangle rectangle d’hypoténuse le diamètre recherché.

6. D’après le grand théorème de Poncelet, il existe un quadrilatère inscrit dans le grand cercle et dont les côtés sont tangents au petit cercle de la figure (donc comme le quadrilatère de la figure) tel que de plus l’un des côtés soit perpendiculaire à la droite passant par les deux centres. Ça simplifie beaucoup le problème.