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Un bel échantillon est l’exercice 12 de la demi-finale de cette année. Regardons pour l’instant un exercice plus simple (NDLR : 2024).
Placez les nombres 3, 4, 5, 7 et 9 dans les disques vides de la figure de telle sorte qu’en additionnant les nombres sur n’importe quel alignement selon un trait, on obtienne toujours un résultat égal à 21.

Pour résoudre cet exercice, nous pouvons utiliser le double comptage. C’est une méthode souvent utile en mathématiques qui consiste à exprimer une même quantité de deux façons différentes pour en déduire une égalité intéressante. Donnons d’abord des noms aux cases vides comme ci-dessous à gauche.

Faisons la somme des nombres sur les trois lignes qui ne sont pas horizontales, en comptant donc trois fois  . Comme il y a trois alignements, la somme totale vaut trois fois 21. De plus, chaque disque apparaît exactement une fois dans ces alignements sauf   qui apparaît deux fois de plus. La somme totale est donc aussi la somme de tous les nombres de 1 à 9 plus deux fois  . Donc
 
C’est une bonne occasion pour rappeler l’astuce pour calculer rapidement les sommes de nombres consécutifs. La légende prétend que Gauss, un mathématicien très célèbre, avait trouvé la somme des nombres de 1 à 100 à l’âge de 9 ans! L’astuce est de multiplier par deux et de réarranger la somme selon l’exemple suivant :

Exercices bonus pour aller plus loin sur cette astuce : calculer la somme des nombres de 1 à 100, celle des nombres de 17 à 37, celle des nombres impairs de 17 à 37.
Revenons à notre problème. On a donc

Comme a=9, nous en déduisons que b=4 car sur le côté gauche nous avons

Maintenant, il n’y a plus de case que l’on peut déduire automatiquement.
Regardons par exemple le côté droit. On a
 
Je vous conseille, pour ne pas faire d’erreur, d’écrire dans un premier temps toutes les façons d’écrire 11 comme une somme de deux nombres entre 1 et 9, en partant de 9 pour le premier nombre puis en descendant (ou en partant de 1 et en montant si la somme est plutôt petite; ici, si on part de 1 il faudrait faire 1 + 10 mais 10 n’est pas entre 1 et 9, donc il vaut mieux partir de 9), jusqu’à tomber sur une somme déjà écrite :
9 2  8 3  7 4  6 5 5  5 6 ... déjà écrir, on s'arrête
Dans un second temps, barrez ceux qui contiennent des nombres déjà utilisées.

Il n’y a plus qu’une seule possibilité, 8 et 3, sauf qu’il faut déterminer si c’est   qui vaut 8 ou si c’est  . Reportons ce problème à plus tard. Je vous conseille de noter sur la figure l’alternative, par exemple de la façon indiquée sur la figure du milieu ci-dessus.
En faisant la même étude pour le côté inférieur, on trouve que   et   valent 7 et 8. Cela permet d’en déduire que c’est   qui vaut 8,   qui vaut 7 et   qui vaut 3. Par élimination,   vaut 5.
Dernière étape, étape cruciale à la FFJM, vérifier :

C’est bon!
Souvent le double comptage est plus subtil. Par exemple, tous les nombres apparaissent deux fois dans les alignements choisis sauf un qui n’apparaît pas; ou bien tous les nombres apparaissent le même nombre de fois sauf deux, mais on connaît déjà l’un de ces deux nombres, etc. L’idée générale est de trouver un ensemble d’alignements tel que tous les nombres non déjà connus apparaissent autant de fois sauf un. Si cette technique ne fonctionne pas, attendez les trucs & astuces de la prochaine fois!
Le mieux, c’est d’essayer par soi-même. Voici une liste d’exercices où l’on vous donne la liste des nombres, ainsi que la somme des nombres sur chaque alignement (ou cercle, etc.) notée   (« sigma majuscule », une lettre grecque qu’on utilise souvent pour les sommes). Parfois il faudra déterminer   soi-même. Il y a plusieurs façons de résoudre les exercices ci-dessous, mais le but est d’utiliser la méthode de double comptage. Cette fois-ci je vous donne des indices pour ne pas vous décourager. Lisez-les si vous êtes coincés, ou même si vous avez réussi l’exercice, vous pourriez apprendre des choses.

Indices :
1.    Regardez les trois alignements non horizontaux pour en déduire la valeur du nombre en haut.
2.    Il faut d’abord déterminer  ; comment pouvez-vous faire? / Pour calculer  , regardez les trois alignements verticaux. / Complétez le nombre en haut à gauche, puis cherchez toutes les possibilités pour la ligne verticale centrale. / En regardant les diagonales, finir la ligne centrale.
3.    Comparez les trois alignements horizontaux avec les quatre autres alignements et avec la somme des nombres de 1 à 13. Vous obtiendrez deux équations à deux inconnues :   et  .
4.    Que peut-on déduire des trois lignes horizontales? / Que peut-on déduire des quatre lignes qui sont concourantes?
5.    Comment peut-on calculer le nombre en bas à droite du triangle? / Pour le calculer, regardez le cercle et les deux côtés du triangle adjacent à ce nombre. / Quelles sont les possibilités pour le cercle? pour le côté contenant le 10? pour les deux derniers nombres? / Conclure avec la ligne centrale.
6.    Quelle est la somme des trois sommets du triangle moyen retourné? Quelles sont les valeurs possibles pour ces sommets? / Mêmes questions pour le grand triangle et le petit triangle (deux possibilités) puis conclure après quelques essais.