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1. Soit R le rayon du cercle. Par le théorème de Pythagore, on a OB² + AB² = OA² donc 28² +(56-R)²=R². On résout pour trouver 28²+56²-2⋅56R=0 puis R=35, donc le diamètre vaut 70. Remarque : ABO est un triangle 3-4-5.

2. Les différents rayons sont, dans l’ordre croissant, ρ,r, 6 et 12. Dans le triangle AOB, on a OA²+OB²=AB², c’est-à-dire 6²+(12-r)²=(6+r)². On simplifie, on obtient 36r=144 d’où r=4 (encore un triangle 3-4-5). Ensuite on regarde le triangle AOC. On a OA²+OC²=AC², c’est-à-dire 6²+(12-2⋅r-ρ)²=(6+ρ)². En simplifiant, on obtient 16=20ρ donc ρ=0,8. Les diamètres sont 1,6, 8, 12 et 24.

3. On introduit les centres des différents cercles O₁, O, O', O″, et H₁ le projeté orthogonal de O₁ sur la droite (OO″). Par le théorème de Pythagore, on a OO₁²-OH₁²=H₁O₁²=O"O₁²-O"H₁².

Pour simplifier les calculs, multiplions toutes les dimensions par 2. Le grand demi-cercle a alors pour rayon 94+19=113. Si r₁ est le rayon du petit cercle, on obtient l’équation H₁O₁²=(113-r₁)²-(113-2⋅19+r₁)²=(19+r₁)²-(19-r₁)². Le second membre peut être réécrit en (r₁)²-(94-(19-r₁))². En simplifiant, on a donc 4⋅94(19-r₁)=4⋅19r₁. Ce qui donne 113r₁=94⋅19 donc r₁≈15,8 (comme on a tout multiplié par deux, il s’agit bien du diamètre du cercle de départ).

Rapidement, pour le second cercle, si O₂ désigne son centre et H₂ sa projection orthogonale, on a de même OO₂²-OH₂²=O'O₂²-O'H₂². On obtient 4⋅19(94-r₂)=4⋅94r₂ et on trouve r1=r2.

4. Les rayons sont, dans l’ordre décroissant, , r et ρ. Concernant le cercle dans le coin du carré, de rayon ρ, on a , d’où . Petit rappel, pour simplifier un dénominateur de la forme  , on multiplie le numérateur et le dénominateur par  (ou par ). Donc

. Avec l’approximation , on trouve un diamètre de 2ρ≈0,121.

Pour calculer r, il faut de nouveau utiliser deux triangles rectangles. Par le théorème de Pythagore, on a HB²=AB²-AH²=OB²-OH².

On a donc

On simplifie : , puis 

Donc le diamètre vaut 2r=1/8=0,125.

5. Soit r le rayon des cercles. Rappelons que la hauteur d’un triangle équilatéral de côté 1 mesure . En utilisant les triangles équilatéraux grisés, on obtient  et BC=2r. Donc, par le théorème de Pythagore, . On simplifie en . On résout l’équation, on trouve . En utilisant les approximations de l’énoncé, on trouve r≈28.3/8 d’où un diamètre de 2r≈21.

6. En utilisant le grand théorème de Poncelet, on se ramène à la figure ci-dessus. Posons R=7 et r le rayon du petit cercle. Dans OAB, on obtient , et dans ODC on a . Ensuite, on déduit du triangle CHB que CK+KB)²-(CD-BA)²=HB²=(2r)². Donc 4⋅CK⋅KB=4r². Donc, en mettant au carré,

r⁴=(R²-(r+1)²)(R²-(r-1)²)=R⁴-2R²r²-2R²+r⁴-2r²+1.

En simplifiant, on obtient 100r²=48², puis r=4,8 donc le diamètre vaut 9,6.