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1. Les gommettes

En coloriant chaque forme d’une couleur différente, le décompte est aisé : 4 triangles, 3 carrés et 5 ronds.

2. Les jetons

26 est obtenu avec la somme des 4 plus grands nombres 26=8+7+6+5. Il reste donc 2, 3 et 4

3. Les cartes de Cécile

Avec 3, 6 et 9, on peut former 6 nombres : 369, 396, 639, 693, 936, 963. Avec 3 et 2 fois 6, on peut en former 2 : 366, 636, 663. Enfin avec 3 et 2 fois 9, on peut en former 3 autres 399, 939 et 993. En tout on peut former 12 nombres distincts.

4. Le fer à cheval

On doit choisir 2 trous parmi 8. On a 8 possibilités pour le 1er et il en reste 7 pour le 2e clou. Comme c’est pareil de choisir le trou A puis le trou B ou de choisir B puis A, on prend garde de diviser par 2. Le nombre possibilités est 7x8 / 2 = 28.

5. L’année illuminée

Les 2 premiers chiffres sont 2 et 0 (sauf pour 2100) qui comportent 11 allumettes. Il faut ensuite prendre les chiffres qui demandent le plus d’allumettes, soit 8. 2088 nécessite 25 allumettes (plus que 2100)..

6. Les images de Mathilde

Le plus simple est de procéder par essai (en prenant des nombres divisibles par 6). Avec 6 images, elle aurait mis 3+3/3=4 jours. Avec 12 images, elle met 6+6/3=8 jours. Avec 18 images, elle met 9+9/3=12 jours. Avec 24 images, elle met 12+12/3=16 jours. Elle avait donc 24 images.

7. Une drôle d’addition

Comme l’étoile se retrouve dans le résultat, la croix vaut 0 ou 9 (avec 1 de retenue). 0 n’est pas possible donc le nombre cherché est 99.

8 L’étoile filante

Les nombres du pentagone interviennent dans 2 sommes alors que les autres aux extrémités dans une seule somme. La somme des 10 nombres vaut 55 et la somme des 5 alignements 5*14=70, donc la somme des nombres du pentagone vaut 15=1+2+3+4+5, seule possibilité. On évite de placer 4 et 5 côte à côte, sinon le 3e chiffre de l’alignement est 5. On essaie les possibilités restantes ; seule une convient qui donne a=9 et b=6

9. Seulement 9 chiffres

On peut rapidement placer le 7 sous le 9 et le 1 à gauche du 3. La somme des 4 autres chiffres 2, 4, 5 et 6 fait 17 donc on aura une retenue de 1 dans la 2e colonne ce qui impose de mettre le 6 sous le 3. La somme de la 2e colonne est alors 11 et on obtient bien 12 avec la retenue. On a 3 solutions possibles : 627, 647 et 657.

10. Paquet de chocolats

Il y a en tout 8 sachets et 1+2+…+8=36 chocolats. On veut 18 chocolats avec 4 sachets. 18=1+2+7+8=1+3+6+8=1+4+5+8=1+4+6+7 (on commence avec les plus petits sachets 1 et 2 puis on augmente progressivement jusqu’à 1 et 4 ; on ne peut pas avoir 1 et 5 car il resterait 12 chocolats soit 2 paquets de 6). On a donc 4 solutions (1,2,7,8), (1,3,6,8), (1,4,5,8) et (1,4,6,7).

11. Tétraminos

On place d’abord le tétraminos T et on regarde si on peut compléter avec les autres pièces. On obtient 5 configurations possibles.

D’où la solution :

 

12. 20x26

20x26=23x5x13=13x40=26x20=52x10=65x08 sont les seules possibilités avec un facteur inférieur à 100. On a donc 4 solutions 4013, 2620, 5210 et 6508 (on ne peut pas permuter pour respecter la condition).

13. Les cavaliers

Dans un demi-échiquier 2x4, quatre paires de cases se menacent mutuellement. On aura donc au maximum 8 cavaliers sur l’échiquier. 

2 configurations sont évidentes : l’une où les cavaliers occupent la 1ère et la dernière ligne et l’autre ou les cavaliers sont sur les cases d’une même couleur. Pour la dernière, on essaie 3 cavaliers sur la 1ère ligne (2 configurations possibles dont 1 seule permet de mettre 8 cavaliers). On obtient 3 solutions.

14. Trajet en voiture

On a une suite géométrique telle que  où a est la valeur du 1er trait et b l’écart entre 2 traits. 8a+28b=30. a et b sont multiples de ½, donc (a,b)=(2, 1/2) seule possibilité. Trois traits représentent 2+2,5+3=7,5 litres et pour parcourir 80km il lui faut 6x80/100 = 4,8 l. Il lui restera donc 2,7 litres.

15. Les vidéos de contrôle

Axel visionne les 2h30 en 150/1,5 = 100 m alors que Bob visionne les 5h25 en 325/2,5 = 130 mn. Bob terminera 30 mn après Axel.

16. Les chemins de Lucien

Un chemin optimal combine 12 segments horizontaux et 7 segments verticaux, soit un trajet total de 19 segments. Chaque flèche ayant 3 segments, il faut au moins 7 flèches pour faire le trajet. Pour « monter » de 7 segments, il faudra parfois descendre car on ne peut pas toujours monter avec 7 flèches xxH et atteindre B. En revanche, on peut parcourir 12 segments vers la droite avec 7 flèches : 5 fois DDx et 2 fois xxD (seule possibilité – D=droite). Avec cette combinaison, pour monter de 7 segments, il faut 2 fois HHD, 4 fois DDH et une fois DDB (seule possibilité – H=haut, B=bas). DDB ne peut pas être au début ni à la fin, a donc 5 positions possibles (2e à 6e). Les 2 segments HHD ne peuvent pas être après DDB et ont alors 10 positions possibles. On a donc 50 chemins possibles.

17. Collage

Le côté de B vaut  donc   .

Les 2 triangles rayés rouges sont identiques donc x est la hauteur du triangle équilatéral DEF : . Donc le côté du triangle C est .

L’aire de C est donc 

18. Partage équitable

Pour avoir le même périmètre et la même aire, la coupe doit intervenir sur l’un des segments qui ampute le carré. La longueur d se retrouve aux 2 endroits du schéma. Donc (b-d)² + (a+d)² est le carré d’un entier (triplet pythagoricien) et (a+c)b - (b-d)(a+d)/2 = (b-d)(a+d)/2 + ac 

soit : (b-d)(a+d) = ab+c(b-a).

Prenons les 1ers triplets pythagoriciens (3,4,5), (5,12,13), (6,8,12), (7,24,25), (8,15,17), (9,12,15),…. qui donnent les valeurs de b-d et a+d. Pour chacun, on fait varier d et on regarde si c est entier.

(5,12,13) admet une solution (8,9,12,4), soit un rectangle 21x20 amputé d’un carré 12x12 dont l’aire est 276.

(9,12,15) en admet une (11,10,2,1), soit un rectangle 13x12 amputé d’un carré 2x2 dont l’aire est 152.

(8,15,17) admet aussi une solution (12,11,12,3) qui est un rectangle 24x23 amputé d’un carré 12x12, dont l’aire est 408.

Au-delà de b-d=11 (b<a), l’aire (b-d)(a+d) (inscrite dans le champ) sera supérieure à 152 (12x13=156), donc on n’essaie que les triplets jusqu’à (11,60,61) et seuls 3 ont une solution, dont la plus petite aire est obtenue avec (9,12,15). Le périmètre de ce champ est 50 dam.