1. En somme, 2026

Faisons des essais. Partons de 2020 par exemple : 2020+2+0+2+0=2024. Il manque 2. Avec 2021, 2021+2+0+2+1=2026. Ça marche. Est-ce que ça peut aussi fonctionner avec un nombre plus petit que 2020 ?  Avec 2017 : 2017+2+1+7=2027 trop grand. Avec 2016 : 2016+2+1+6=2025 trop petit. 2021 est donc la seule solution.

2. Les amis musiciens

Mathilde joue du piano et de la guitare. Comme Léo joue aussi du piano, Aline ne joue pas du piano (sinon ils jouent tous les 3 du piano) et Aline joue de la guitare et du violon. Donc Léo ne joue pas de la guitare.

3. Tableau de différences

On procède par tentatives. Déjà entre 5 et 6, ça ne peut pas être 1, ni 3 entre 5 et 6. Avec 2, on a 3 et 4 au-dessus et 1 au sommet.  4 ne peut pas être entre 5 et 6, sinon 1 se répète au sommet. Donc 2 entre 5 et 6 est la seule solution.

4. Les nombres de Mathilde

Si les nombres sont 5, 6, 7, …, 10, la somme est 45 et en retirant 5 et 8 la sommes  est 32. En prenant 4, 5, …9, la somme  est 39 et en retirant 5 et 8, la somme est 26. Le plus grand des nombres restants est donc 9.

5. Chaîne d’opérations

En faisant le chemin inverse à partir de la fin : (((((2026/2)-26)/3)-26)/3-26)/3=(((987/3)-26)/3-26)/3= (303/3-26)/3= 25. Donc pour passer de 26 à 25, la 1ère opération était -1.

6. Le marathon féminin

Il y a 1482 autres concurrentes, dont 1/6 devant elle et 5/6 derrière elle. 1482/6=247. Elle finit donc 248e

7. Space Invaders

S’agissant d’un rectangle 13x12, il peut y avoir 2 axes de symétrie possible (vertical, horizontal).  Selon l’axe vertical, il manquerait au moins 15 pixels et au moins 23 selon l’axe horizontal. La réponse est 15.

 

8. Dominos

Voici un exemple avec 10 dominos. Il n’est pas possible de faire moins car on ne peut avoir plus de 3 cases grisées dans l’un des quarts de la figure.

 

9. Divisibilité multiple

Comme il est divisible par 5 et 2, il se termine par 0. Il est divisible par 3 et 6 quel que soit l’ordre des chiffres. Il doit le nombre formé de ses 2 derniers chiffres divisible par 4, soit 20 au minimum. Le plus grand nombre est donc 6543120

10. Carrément à l’envers

Ça fonctionne par exemple avec 11 dont le carré est 121. Le chiffre des dizaines est au plus 3, qu’on peut écarter car 30 et 31 ne fonctionnent pas. On essaie les autres, sachant qu’entre 20 et 23, ça ne fonctionne pas (le chiffre des unités du carré devrait être 2) ; 272=729 ok.  Dans les dizaines, le chiffre des unités doit être 1 et 192=361 ne va pas. Il reste donc 2 solutions : 11 et 27.

11. Crittaritmo

25+2026=2051. BOCCONI a 7 chiffres, donc B=1. I est impair (colonne des unités) et dans la colonne des dizaines, I+5=4 ou 5, selon la retenue. Mais I est impair donc I=5 et on n’a pas de retenue en 1ère colonne. Donc O=2 et L+A=11. Donc L+M=12 (pas de retenue), sinon L+M=11=L+A et M=A. Donc on peut avoir (L,M,A)=(3,9,8), (4,8,7), (8,4,3). On essaie ces 3 possibilités.  Seule (4,8,7) fonctionne et donne 25+409452+2026+854732=1266235.

12. Les jours triangulaires

En janvier, il y a le 26. En février, les jours du 25 au 27… En décembre, les jours du 15 au 31. Soit en tout 1+3+5+7+9+10+12+13+13+15+15+17=120. I l y a 120 jours triangulaires.

13. La Tombola

Si on tire 4 numéros, ils vont au minimum de 1 à 45 et au maximum de 46 à 90. Donc la somme va de 23x45=1035 à 68x45=3060.  Toutes les sommes entre ces 2 nombres peuvent être atteintes : en partant de 1 …45, on ajoute 1 à 45 jusqu’à 90, puis on ajoute 1 à 44 jusqu’à 89, … On a dont 3060-1034=2026 sommes différentes.

14. Les billes triangulaires

Si la base comprend n billes, le nombre de billes du triangle est n(n+1 )/2. Donc on cherche n et p tels que n(n+1)/2+p(p+1)/2=2026 (2026 est la somme de 2 nombres triangulaires). On peut essayer toutes les valeurs de n et p, ou bien se ramener à un nombre de cas plus limité et pour cela de nombreuses façons sont imaginables (cf archives). En voici une.

Cette équation peut s’écrire : .

Un carré est congru à -1, 0 ou 1 modulo 5, donc l’un des 2 termes est congru à -1 et l’autre à 1, car la somme 16210 est congrue à 0. Donc n est de la forme 5u ou 5u-1 et p de la forme 5v+1 ou 5v-2 et l’équation revient à :  

soit .

On encadre les valeurs possibles de u et v :

 est proche de 162 ainsi 2(u+3v) est inférieur à 100 et on réduit à 6x2 paires (u,v) envisageables : (1,13), (5,12), (4,12), (7,11), (6,11) et (8,10) et leur permutation. (1,13) conduit à -2(u+3v) = 1620 - 1700 = -80 ; ça marche avec u=1 et v=13. On essaie les autres et seul (7,11) marche aussi avec aussi -2(u+3v) = 1620 - 1700 = -80 ; u=7 et v=11. On a donc 2 solutions (n,p)=(5u-1, 5v-2)=(4,63) ou (34, 53). Les plus grands nombres possibles sont 1431 et 2016.

15. L’afficheur défectueux

Lorsqu’on voit un 8, c’est un 0, 6 ou 9. Un 9 est un 3, 5 ou 8. Un 7 est un 1. Un 6 est un 5 ou 8 ; un 5 est un 6 ou 9 et un 3 est un 9. Donc dans la colonne des centaines, on a (6 ou 9)+9+ retenue (0 ou 1)=6 ou 9. Donc il y a une retenue de 1. Dans la colonne des dizaines, 10/16/19=5/8+3/5/8 ; seules possibilités 16=8+8 et 10=5+5. Avec 8, 599 est ?8?. La multiplication 8x599 est en réalité 6/9 x 6/9-8-3/5/8 = 5/8-5/8-9-8. La seule combinaison qui fonctionne est 6 x 983 = 5898. Avec 5, 599 est ?5?. La multiplication par 6 est impossible (le produit se termine par 5). Donc 9x ?5?=5/8-5/8-9-5 admet 2 solutions : 9x955=8595 et 9x655=5855. Donc on a 3 solutions 59605, 59983, 86905.

16. Le champ du père Gélisol

Le triangle ECF est rectangle en C, donc .

Dans le repère d’origine B et d’unité AB,  donc  donc .

ECF est isocèle avec un angle droit au sommet C, donc .

ABE est aussi isocèle avec un angle de 30° en B, donc  

Or .

La longueur du chemin est donc

17. L’heure de sortie

Entre lundi 8h et mercredi 12h, il s’est écoulé 52h. entre lundi 8h et vendredi Xh, il s’écoulera 88+X. A l’heure X, la pendule affichera  minutes d’avance.

On a  donc x=15h 50mn 0,96 sec. Il manque donc 9mn 59 sec 4/100

18. Le jardin de Pythagore

A partir de chaque sommet, traçons les points Q, R et S obtenus par rotation de P d’angle -60°. Ainsi, BPQ, APS et CPR sont équilatéraux et CPQ, APR et BPS sont rectangles de dimensions 12, 16 et 20 (triangle pythagoricien). La surface de l’hexagone BQCRAS est 2 fois la surface de ABC, donc la surface de ABC est