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Nous allons les appliquer à l’exercice suivant.

Marine vient de dessiner la silhouette d’un bateau sur un papier spécial à trame triangulaire. Combien peut-on tracer de triangles équilatéraux non réduits à un point, sur la figure de Marine ?

Premier conseil : bien lire l’énoncé et mettre en valeur les informations importantes

J’aime bien mettre en valeur les informations importantes à revérifier à la fin, que ce soit dans l’énoncé ou sur mon brouillon. Par exemple si l’unité de la réponse est différente de celle de l’énoncé, si on doit inclure ou exclure certains cas, si l’on a tout divisé par deux pour simplifier les calculs et qu’il ne faut pas oublier de remultiplier par deux en donnant la réponse, etc. Ici, on compte les triangles équilatéraux, non réduits à un point.

Juste avant de remplir la feuille réponse, bien relire l’énoncé, puis relire tout ce qui a été mis en valeur pour l’exercice et vérifier que l’on a bien tout pris en compte.

Second conseil : découper le problème en des sous-problèmes très simples

Si l’on compte directement le nombre de triangles, on va sûrement en oublier et/ou en compter en double. Ensuite on va recompter, on va trouver un nombre différent, et on risque de faire ça longtemps. En général, même si j’arrive à un résultat avec une telle méthode, je suis mal à l’aise car le résultat ne me convint pas.

L’idée est de découper le problème en plein de petits sous-problèmes très simples. On doit pouvoir vérifier la solution de chaque sous-problème très facilement. Pour moi, un sous-problème est suffisamment simple lorsque, une fois que je pense l’avoir résolu, je suis serein. Dans notre exemple, chaque sous-problème va consister à compter les triangles équilatéraux vérifiant certaines propriétés. Il faut :

• que les sous-problèmes soient disjoints : un triangle équilatéral ne doit pas être compté dans deux sous-problèmes différents (ou alors il faut pouvoir corriger par la suite),

• que l’union des sous-problèmes fasse le problème entier : chaque triangle équilatéral doit être compté dans au moins un sous-problème.

Une façon de découper le problème ici est d’utiliser les points. Pour chaque point, on peut compter le nombre de triangles qui a ce point pour sommet. Problème, on compte plusieurs fois

chaque triangle ; oui mais on compte chaque triangle exactement trois fois. À la fin, il suffit de diviser par trois (c’est le genre d’information qu’il faut mettre en valeur sur le brouillon). On a coupé le problème en 15 problèmes simples.

Ici ça peut être un peu long, donc je vous propose une autre méthode.

Pour chaque point, on va compter le nombre de triangles dont c’est le sommet le plus haut. Attention, on risque de compter deux fois les triangle . Donc s’il y a deux sommets le plus haut, on veut que notre point soit celui le plus à gauche. Par exemple, dans la figure de gauche, nous faisons le cas du point 3.

 

Toujours pour simplifier, nous allons ensuite décomposer notre sous-problème en les sous-sous-problèmes suivants. Pour chaque autre point, nous allons nous demander si ce deuxième point peut être le deuxième sommet de notre triangle équilatéral dans le sens inverse des aiguilles d’une montre : . Dans notre exemple, ce deuxième point est forcément dans la zone grise. Par exemple, pour le point 9 c’est bon, pour le point 14 non. Pour chaque bon triangle, on fait un trait à côté du numéro du premier point. On obtient alors le tableau à droite. En sommant tout correctement, on obtient 38.

Troisième conseil : recompter puis compter de nouveau différemment.

L’avantage de notre découpage c’est que l’on peut recompter chaque sous-problème très rapidement. Il y a des chances que l’on ne retombe pas sur le même compte pour l’un des sous-problèmes. Dans ce cas on recompte très attentivement une troisième fois uniquement le sous-problème, ça ne prend pas beaucoup de temps.

Ensuite, un conseil pour tous les problèmes calculatoires de la FFJM une fois résolus est d’essayer de le résoudre de nouveau avec une méthode différente et de voir si l’on trouve le même résultat. On peut éventuellement laisser un peu de temps entre la première et la seconde résolution. En général, la deuxième résolution est plus rapide et précise, car, lors de la première résolution, on a petit à petit mieux compris le problème.

Je vais donner plusieurs exemples plus ou moins sophistiqués de compter différemment. Choisissez celle que vous préférez, ou trouvez-en d’autres.

On peut faire comme décrit dessus : pour chaque point, compter le nombre de triangles ayant ce point pour sommet puis diviser par trois. Cela permet en plus de faire des vérifications : le résultat qu’on trouve doit être divisible par trois, et, comme la figure est symétrique selon l’axe vertical, un point et son symétrique doivent appartenir au même nombre de triangles. On trouve la figure de gauche ci-dessous. C’est symétrique, en sommant on trouve 114, qui est bien divisible par trois, et le tiers est bien 38.

On peut également compter en fonction du côté en face du sommet le plus en haut à gauche (voire les deux figures du milieu). Par exemple, il y a trois triangles avec le segment gris, plus trois triangle symétriques (d’où le x2) en gris pointillé.

 

Une troisième possibilité est de compter en fonction du sommet du haut, mais plus rapidement car on ne compte qu’une fois un triangle et son symétrique. Dans la figure de droite, si le sommet en haut à gauche est celui entouré, les deuxièmes sommets potentiels en gris clair sont à compter une fois, et ceux en gris foncé en double pour prendre en compte le triangle symétrique.

Dans tous les cas on trouve bien 38.

Récapitulatif

Pour récapituler :

• Bien lire l’énoncé et mettre en valeur les informations importantes.

• Découper le problème en sous-problèmes très faciles à vérifier.

• Si l’on fait des hypothèses que l’on risque d’oublier, les mettre en valeur sur le brouillon.

• Résoudre le problème.

• Recompter et relire les calculs.

• Résoudre le problème différemment et vérifier que l’on trouve le même résultat.

• Relire attentivement l’énoncé.

• Relire tout ce qu’on a mis en valeur.

• Écrire la réponse sur la feuille réponse.

Entraînement

Compter, dans les figures correspondantes, le nombre de :

1. rectangles entièrement dessinés (carrés compris).

2. chemins les plus courts possibles.

3. chemins les plus courts possibles de A à B, les flèches téléportent (longueur  0).

4. carrés ne contenant pas de gris.

5. chemins de quatre cases faisant EPFL : on peut se déplacer orthogonalement ou diagonalement.

6. quadrilatères différents (croisés ou non mais pas aplatis). Deux quadrilatères dont l’un est obtenu en tournant ou en retournant l’autre sont considérés comme identiques.

7. coloriages, trois triangles doivent être rouges, trois bleus et trois blancs, tel que deux triangles adjacents soient de couleurs différentes. Deux coloriages obtenus l’un en tournant ou en retournant l’autre sont considérés comme identiques.

Indices :

1. Séparer en fonction du sommet supérieur gauche, puis chercher le sommet supérieur droit.

2. Pour chaque sommet de haut en bas et de droite à gauche, quel est le nombre de débuts de chemins qui y terminent ? (Utilisez les résultats intermédiaires.)

3. On peut simplement séparer en fonction des flèches. Plus astucieusement, pour chaque flèche, compter le nombre de chemins le plus courts de A au début de la flèche. Puis le nombre de chemins le plus courts allant de la fin de la flèches à B. Comment conclure ?

4. On peut séparer en fonction du sommet supérieur gauche. Ou bien en fonction du centre du carré : on peut alors se contenter de compter sur un huitième du grand carré, puis multiplier en fonction des symétries (par 4 ou 8).

5. Pour chaque P, compter le nombre de chemins faisant E puis P. Pour chaque F, compter le nombre de chemins faisant E puis P puis F, etc. On peut aussi le faire à l’envers avec la même astuce : compter les chemins faisant LFPE.

6. On peut séparer par exemple en fonction du nombre de points sur la première rangée, sur la deuxième et sur la troisième et idem sur les colonnes en faisant attention à ce qui risque de faire des comptages en double.

7. Trois triangles sont aux sommets du grand triangle, trois sont sur les côtés et il y a les trois autres. On peut étudier les cas où les trois sommets sont d’une seule couleur, de deux couleurs différentes ou des trois couleurs, puis idem pour les côtés (on a séparé en neuf cas). Ou bien on peut regarder où sont les rouges (on ne fera pas plusieurs cas qui sont obtenables par symétrie ou rotation) puis les bleus.