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Commençons par rappeler rapidement ce que nous avions vu alors. Si ça ne vous dit rien, je vous conseille de prendre une piqûre de rappel en relisant l’ancienne rubrique que vous retrouverez facilement sur le site de la FFJM. Cela sera nécessaire pour bien comprendre ce second épisode.

Un “dessin magique” est une variante du carré magique. Par exemple, nous avions vu comment résoudre efficacement le problème suivant.

Placez les nombres 3, 4, 5, 7, 8 et 9 dans les disques vides de la figure de telle sorte qu’en additionnant les nombres sur n’importe quel alignement selon un trait, on obtienne toujours un résultat égal à 21.

 

 

 

 

 

 

Pour cela, la première astuce était d’utiliser la puissante technique du double comptage. La somme des trois lignes non horizontales valent 3×21=63, mais aussi 1+…+9+a+a=45+2×a, où a est le nombre dans la case en haut. Donc a=9, et l’on peut compléter la ligne à gauche avec un 4. En essayant les différentes possibilités, nous nous rendons compte que les deux disques restants de la ligne de droite sont 3 et 8. Cette information peut paraître peu utile, car nous ne savons pas l’ordre. En fait elle est très intéressante et mérite même d’être notée. C’est ce genre d’informations non complètes que nous allons étudier plus longuement dans cette rubrique. Mais terminons d’abord le problème ci-dessus en étudiant simplement la ligne du bas en fonction de si la case de droite contient 3 ou 8. La case du milieu serait alors 12 ou 7. Nous voyons donc qu’elle vaut 7, et le reste du dessin se complète directement.

Voici maintenant le problème qui va nous guider dans cette rubrique. Compléter le pentagone ci-dessous à l’aide de nombres entiers strictement positifs de telle sorte que :

• les nombres soient tous différents ;
• la somme de trois nombres placés sur un même segment soit toujours la même ;
• le plus grand nombre soit le plus petit possible.

 

 

 

 

 

 

 

Là nous ne connaissons ni la somme de toutes les cases, ni la somme sur une ligne, ce qui rend probablement peu pertinent d’appliquer directement la technique du double comptage. L’idée va être d’introduire des inconnues sur une ligne, par exemple a  et b  dans la figure de gauche ci-dessous (après coup, choisir les deux voisins du 3 aurait pu être plus judicieux, mais peu importe). Ainsi la somme sur une ligne vaut a+b+2 .

On en déduit que le nombre en face du 1 vaut a+1 puis que l’autre voisin de 3 vaut b-2. Maintenant nous avons un alignement contenant a, b-2 et une case vide. Cette case vide vaut forcément 4. Nous avons pu déterminer un nombre fixe à partir d’inconnues sans faire de calcul compliqué. En continuant le raisonnement, nous obtenons la deuxième figure.

Nous avons fait la première partie du travail. Maintenant, il faut trouver la valeur des différentes inconnues pour que tous les nombres soient différents, tout en s’assurant que nous n’avons oublié aucun cas. En fonction de comment l’on s’y prend, cela peut prendre plus ou moins de temps. Choisir comment s’y prendre, justement, est tout un art qui mériterait au moins une rubrique trucs & astuces à elle toute seule, et qui nécessite surtout de l’entraînement, voire parfois de la chance. Ici, et dans les solutions, plutôt que de donner des règles générales, je vais me contenter d’expliquer quelques trucs que j’ai utilisés dans ces cas précis. Si vous voulez en savoir plus, je vous conseille vivement le bouquin de Raymond Bloch sur les cryptarithmes, “80 additions-mystères et autres surprises mathématiques”, qui m’a beaucoup appris sur ce sujet.

La case du bas est un peu compliquée. Remplaçons a-b par c, et donc a et a+1 par b+c et b+c+1. Cette astuce permet en général d’y voir plus clair, de faire moins d’erreurs et de gagner du temps. Récapitulons. Nous savons que 1,2,3,4,b-2,b-1,b,b+1,c+2,b+c,b+c+1 sont des entiers strictement positifs différents, et le maximum d’entre eux est minimal. Pour tester les différents cas, je vous conseille de faire un grand tableau avec en colonnes les données qui doivent être différentes. D’autres colonnes intermédiaires peuvent être pertinentes. (Parfois j’entoure les nombres de ces colonnes intermédiaires pour ne pas éliminer par mégarde une rangée contenant un nombre identique à un nombre entouré.) Chaque rangée correspond à un cas possible. Gardez de la place entre les différents cas pour mettre les sous-cas, etc. Plus vous prendrez de place, moins vous aurez de problèmes. Dès qu’il est clair qu’une rangée ne peut plus être complétée sans que deux nombres soient égaux, on met une croix. Tout l’art consiste en savoir quelles colonnes mettre en premier.

Ici, nous savons que nous devons minimiser le plus grand nombre, qui est forcément b+c+1. Ce sera notre seconde colonne. En première colonne, nous allons choisir la paire , sans préciser quelle valeur correspond à qui pour le moment, et en commençant par les paires les plus petites. Pour justifier ces choix, la seconde colonne, qui joue un rôle central, se calcule automatiquement à partir de la première, et on a des contraintes simples sur la première colonne : b-2≥5, c+2≥5 et b-2≠c+2. La troisième colonne consiste en choisir b-2 parmi la paire, et toutes les autres colonnes se déduisent directement.

Ici, coup de chance, la paire minimale  donne une (unique) solution. Pas besoin d’essayer d’autres paires comme , car cela donnerait un b+c+1 plus grand. La rangée trouvée donne le dessin de droite. Comme d’habitude, on vérifie que tout va bien pour diminuer les risques d’erreur, et on conclut qu’il y a une unique solution.

Pour résumer et prolonger, en plus du double comptage, on peut repérer des informations partielles simples comme des paires de cases telles que

• la somme des deux cases est connue,
• ou la différence des deux cases est connue,
• ou les deux cases contiennent deux nombres précis dans un ordre ou dans l’autre.

Pour aller plus loin, il peut être utile d’introduire des inconnues permettant de noter des informations partielles plus complexes. Il faut alors en général tester les diverses possibilités pour ces inconnues, dans un ordre aussi judicieux que possible pour gagner du temps (sans pour autant perdre trop de temps à trouver cet ordre judicieux).

Voici d’autres exercices tirés des archives utilisant les techniques des deux épisodes. Il s’agit à chaque fois de placer les nombres entiers de 1 à n, où n est le nombre de disques. Dans le premier exercice, la somme des nombres de chaque triangle est indiqué. Dans les exercices 2 et 3, les sommes des nombres autour de chacun des quatre petits carrés sont identiques. De plus, le nombre central est maximal dans le deuxième exercice. Dans les deux derniers exercices, les sommes des nombres sur chaque ligne sont égales. Dans l’exercice 4, cette somme vaut 16. Dans le dernier exercice, le but est d’identifier le produit des trois nombres du triangle central. Ce n’est probablement pas l’exercice le plus difficile, mais l’idée est de trouver une méthode de résolution rapide qui peut être faite de tête. À chaque fois, il peut y avoir plusieurs solutions. Bonus : refaite l’exercice 4 si lorsque somme de chaque ligne n’est pas fixée.

Indices :

1. Utiliser le double-comptage pour obtenir le nombre au centre. / Introduire deux inconnues a et b, par exemple en bas et en bas à droite. / En déduire de proche en proche la valeur des autres disques en fonction de a ou de b. / Chercher toutes les possibilités pour a et b afin d’avoir tous les nombres de 1 à 9, en prenant en compte le nombre du centre.
2. Que peut-on déduire des deux carrés du haut ? (introduire une inconnue a) / Des deux carrés du bas ? (introduire une inconnue b) / Des deux carrés de gauche ? (introduire une inconnue c) / En regardant les différentes valeurs possibles de b et c, trouver la valeur de centre, puis toutes les solutions.
3. Que peut-on déduire des deux carrés du haut ? (introduire une inconnue a en haut à droite) / Des deux carrés du bas ? (introduire une inconnue b en bas à gauche) / Des deux carrés de gauche ? (introduire une inconnue c en bas) / En regardant les différentes valeurs de a, puis de b, puis de c, trouver toutes les solutions.
4. Que peut-on dire en appliquant le double comptage aux deux lignes horizontales plus la ligne du haut ? / Trouver cinq autres triplets de lignes similaires. / Conclure.
5. Notons α la différence entre les deux cases du haut du triangle centrale. Trouver une autre paire de cases ayant cette même différence. / Utiliser le même raisonnement avec le côté droit du triangle central. / En déduire toutes les solutions.